送交者: 风 于 September 06, 2001 11:56:41:
在无穷领域中事情与有限领域会有些不同，部分可能“等于”整体便是其中之一。我的这个标题容易引起误解，事实上并非任何一个无穷子集总能够等于整集。
老椰子给出一个简洁的证明，“从自然数集Ａ中取出元素１，１不具备２ｎ形式，故不属于偶数集Ｂ。任取Ｂ中元素２ｎ，可以证明２ｎ属于Ａ”。正好证明了偶数是自然数的真子集，但没证明“两个集合元素数目不相等”。
Binbin 给出一个“捣蛋”的证明，他写道：“尽管对于每个ｎ，都只有一个 n^2 相对应，当ｎ趋于无穷大时，n / n^2 趋于 0 ”。他证明了具有相同序号的元素，在自然数平方集Ｂ中要比在自然数集Ａ中大很多。并且他实际使用的集合不是Ｂ＝Ａ×Ａ，而是Ｂ＝ { n^2 }，即 { １，４，９，１６，…… }，一个看起来比Ａ“小”，也比偶数集“小”的集合。但即使是这样或更“小”的“自然数立方集”，“10 次方集”，或任何“有限次方集”也都可以与自然数集的元素一一对应，映射规则是 n ＜－－＞ n^m 。它们都有相同的元素数 “阿列夫”。由此可知把自然数对应到全部整数（－０＋）上不是难事，当作业吧？
下面的讨论肯定让 Binbin 吃一惊。我要说明自然数集Ａ与Ｂ＝Ａ×Ａ仍然有同样多的元素，而其引申的结论是自然数与有理数一样“多”。如果诸位对其中的奥妙不感兴趣，记住这个结论就可以了。为了避免陷入具体数字的比较之中，这里我用拉丁字母来表示集合的元素，后边的数字及字母是下标。
集合Ａ仍然是自然数集：Ａ＝ { a1， a2， a3，…… ，a i ，…… ，an }
集合Ｂ＝Ａ×Ａ 如果把头想左偏一点，可以看成：
＼
│a11 a12 a13 a14 …… a1n│ a11 ＼
│a21 a22 a23 a24 …… a2n│ a21 a12 ＼
│a31 a32 a33 a34 …… a3n│ a31 a22 a13 ＼
│a41 a42 a43 a44 …… a4n│ a41 a32 a23 a14 ＼
│ aij …… │ …… aij …… ＼
│an1 an2 an3 an4 …… ann│ an1 a1n
＼ an2 …… a2n
＼ an3 a3n
＼ an4 a4n
＼ …… ……
＼ ann
农夫打算盘肯定练习过 1+2+3+… 100 ，利用公式 (k+1)k/2 会得到同样结果 5050 。使用同一公式可以构造一个漂亮的映射，把这无穷的“二维”Ｂ集对应到“一维”Ａ集上，所以它们也有同样“多”的元素。而正有理数不过是如下集合的子集罢了：
│1 1/2 1/3 1/4 …… 1/n│
│2 2/2 2/3 2/4 …… 2/n│
│3 3/2 3/3 3/4 …… 3/n│
│4 4/2 4/3 4/4 …… 4/n│
│ i/j …… │
│n n/2 n/3 n/4 …… n/n│