给定任一直角三角形，长边Ａ短边Ｂ弦Ｃ。放在上图左上角‘朱幂’那位置，叫它Ｔ。
以那左上角直角三角形的弦Ｃ作边，构造一正方形，如上图中之粗边画出者，叫它Ｓ。
延长左上角直角三角形的两边，成上图最上横线Ｄ，和最左竖线Ｆ。
经Ｓ最下的端点（vertex）画一与Ｄ平行的横线，叫它Ｇ。
经Ｓ最右的端点画一与Ｆ平行的竖线，叫它Ｈ。
于是Ｄ、Ｈ、Ｇ、和Ｆ，共同构成图中最大的正方形，叫它Ｒ。
送交者: lala 于 April 09, 2009 17:11:16:
定理：周髀算经对勾股定理的优雅证明
送交者: 定理 2009年04月08日23:28:25 于 [教育学术] 发送悄悄话
定理：周髀算经对勾股定理的优雅证明
优雅（elegance），如美女之美，难以界定，但明眼人一见便知、而能在品味中得深刻的大喜悦。
20世纪初的数学大师兼自杀明星hardy说过：优雅是数学的第一准则。
小匠们证明定理，一行行一步步地证。
大师们证明定理，往往只钩勒出关键的一步。小匠们初看疑惑，再想才顿悟，关键一步既明，其他小节，俱属琐屑（trivial）。
《周髀算经》对勾股定理，就是钩勒出那关键的一步。而那关键的一步所引出的证明是至今为至对勾股定理的所有证明当中的最优雅最性感者。
那关键的一步，就是下图：
给定任一直角三角形，长边Ａ短边Ｂ弦Ｃ。放在上图左上角‘朱幂’那位置，叫它Ｔ。
以那左上角直角三角形的弦Ｃ作边，构造一正方形，如上图中之粗边画出者，叫它Ｓ。
延长左上角直角三角形的两边，成上图最上横线Ｄ，和最左竖线Ｆ。
经Ｓ最下的端点（vertex）画一与Ｄ平行的横线，叫它Ｇ。
经Ｓ最右的端点画一与Ｆ平行的竖线，叫它Ｈ。
于是Ｄ、Ｈ、Ｇ、和Ｆ，共同构成图中最大的正方形，叫它Ｒ。
经正方形Ｓ最左端点画一与Ｄ平行的横线，再经Ｓ最上端点画一与Ｆ平行的竖线；此两线与原直角三角形Ｔ之弦组成一三角形。琐屑地可证，此三角形与Ｔ全等。
同理，构造出正方形Ｓ内的各自标有‘朱幂’的四个三角形，每个都与Ｔ全等。
琐屑地可证，中间那‘黄幂’是个正方形，而且，其边＋Ｂ＝Ｃ。
小李的一飞刀，要出手了！
把正方形Ｓ内右上方的‘朱幂’三角形搬到左方，把大正方形Ｒ左上角的‘朱幂’三角形覆盖；由于二者全等，此覆盖是不多也不少。
同理，把正方形Ｓ内右下方的‘朱幂’三角形搬到左方，把大正方形Ｒ左下角的‘朱幂’三角形覆盖，不多也不少。
由此证出：
正方形Ｓ的面积＝两个长方形的面积（四个‘朱幂’三角形拼在一起）＋‘黄幂’小正方形的面积。
以上方程的右方所对应的那个图形，等于两个正方形拼在一起：上面一个较小的，边长Ｂ（从‘黄幂’的上界到大正方形Ｒ的上界）；下面一个较大的，边长Ａ（从‘黄幂’的上界到大正方形Ｒ的下界）。
于是，
正方形Ｓ的面积＝边长Ｂ的正方形的面积＋边长Ａ的正方形的面积，
也就是说，Ｃ平方＝Ｂ平方＋Ａ平方。
证毕。
就一个字：靓！